Question

如图所示，已知△OFQ的面积为S，且

OF

•

FQ

=1，设|

OF

|=c，S=

14

4

c，若以O为中心，F为焦点的双曲线经过点Q，建立适当的直角坐标系，求|

OQ

|最小时此双曲线的方程．

Answer 1

考点：双曲线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，并令Q（m，n），则F（c，0），由题设知

OF

•

FQ

=c（m-c）=1．m=c+

1

c

，Q（c+

1

c

，

14

2

）．由此知|

OQ

|²=（c+

1

c

）²+

7

2

，由此入手，当||

OQ

|取最小值时，能够求出双曲线的方程．

解答： 解：以O为原点，OF所在直线为x轴建立直角坐标系，
∵|

OF

|=c，
∴F（c，0），
并令Q（m，n），
则S=

14

4

c=

1

2

cn，
∴n=

14

2

．
∵

OF

=（c，0），

FQ

=（m-c，n）=（m-c，

14

2

），
∴

OF

•

FQ

=c（m-c）=1．
∴m=c+

1

c

，
∴Q（c+

1

c

，

14

2

）．
∴|

OQ

|²=（c+

1

c

）²+

7

2

，
∵c+

1

c

≥2，当且仅当c=1时，|

OQ

|²取最小值

15

2

，即|

OQ

|取最小时
此时Q（2，

14

2

），
设双曲线方程为

x2

a2

-

y2

b2

=1，
∴

a2+b2=1 4 a2 - 7 2 b2 =1

，
∴a²=

1

2

，b²=

1

2

．
∴所求双曲线的方程为

x2

1 2

-

y2

1 2

=1

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意积累解题方法．