Question

7．已知函数f（x）=（x+6）（x-7），g（x）=ax²-（3a+1）x+3，其中a＜0，若存在6个整数x₀，有f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立，则a的值可能为（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{3}$
• D． -4

Answer 1

分析 运用二次不等式的解法，求得f（x）＜0，g（x）＜0的解，再对选项，一一判断整数解的个数，即可得到结论．

解答 解：由f（x）＜0，即有（x+6）（x-7）＜0，
解得-6＜x＜7，有整数解为-5，-4，-3，…，4，5，6．
由g（x）＜0，即有ax²-（3a+1）x+3＜0，
即为（x-3）（ax-1）＜0，（a＜0），
解得x＞3或x＜$\frac{1}{a}$，
由f（x）＜0且g（x）＜0，可得3＜x＜7，可得整数解为4，5，6；
当a=-1时，可得-6＜x＜-1，整数解为-2，-3，-4，-5，
不满足存在6个整数x₀，有f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立；
当a=-$\frac{1}{2}$时，可得-6＜x＜-2，整数解为-3，-4，-5，
满足存在6个整数x₀，有f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立；
当a=-$\frac{1}{3}$时，可得-6＜x＜-3，整数解为-4，-5，
不满足存在6个整数x₀，有f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立；
当a=-4时，可得-6＜x＜-$\frac{1}{4}$，整数解为-1，-2，-3，-4，-5，
不满足存在6个整数x₀，有f（x₀）＜0与g（x₀）＜0同时成立．
故选：B．

点评 本题考查存在性问题的解法，考查不等式的解法，考查整数解的求法，注意运用排除法，属于基础题．