Question

19．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，∠ABC=90°，且CD=2AB，点E在棱PB上，且PE=2EB，PA=AB=BC．
（1）求证：PD∥平面AEC；
（2）若PA=3，求三棱锥P-ACE的体积．

Answer 1

分析 （1）连结BD，交AC于点M，连结EM．判断△ABM∽△CDM，推出PD∥EM即可证明PD∥平面AEC．
（2）取CD中点F，连接BF，AF，求出E到平面PAC的距离是B到平面PAC的距离，利用V_P-ACE=V_E-PAC转化求解即可．

解答 解：（1）连结BD，交AC于点M，连结EM．
∵AB∥CD，∴△ABM∽△CDM…．（2分）
∴$\frac{BM}{MD}=\frac{AB}{CD}=\frac{1}{2}$，
又PE=2EB，∴$\frac{BM}{MD}=\frac{EB}{PE}=\frac{1}{2}$，∴PD∥EM…．（5分）
∵EM?平面AEC，PD?平面AEC，∴PD∥平面AEC．…．（6分）
（2）取CD中点F，连接BF，AF，PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BF，
又∵AC⊥BF，AC∩PA=A，∴BF⊥平面PAC，$BF=3\sqrt{2}$，
又因为PE=2EB，
所以，E到平面PAC的距离是B到平面PAC的距离的$\frac{2}{3}$，所以$h=\sqrt{2}$…（9分）
${V_{P-ACE}}={V_{E-PAC}}=\frac{1}{3}{S_{△PAC}}•h$=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•3\sqrt{2}•3•\sqrt{2}=3$…．（12分）
注：其它解法酌情给分．

点评 本题考查空间几何体的体积的求法，直线与平面平行的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．