Question

7．设函数f（x）=e^xlnx（e为自然对数的底数）
（1）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）令Q（x）=1-$\frac{2{e}^{x}}{ex}$，证明：当x＞0时f（x）＞Q（x）恒成立．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用点斜式方程可得切线的方程；
（2）构造函数F（x）=f（x）-Q（x），利用导数F′（x）判断F（x）的单调性，求出F（x）的最小值，即可判断x＞0时f（x）＞Q（x）恒成立．

解答 解：（1）函数f（x）=e^xlnx的导数为
f′（x）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$），
可得f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为k=e（ln1+1）=e，
切点为（1，0），
即有f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y-0=e（x-1），
化简为y=ex-e；
（2）证明：Q（x）=1-$\frac{2{e}^{x}}{ex}$，
F（x）=f（x）-Q（x）=e^xlnx+$\frac{{2e}^{x}}{ex}$-1（x＞0），
F′（x）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$）+2e^x（$\frac{1}{ex}$-$\frac{1}{{ex}^{2}}$）=e^x（lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{ex}$-$\frac{2}{{ex}^{2}}$）；
设h（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{ex}$-$\frac{2}{{ex}^{2}}$（x＞0），
则h′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$-$\frac{2}{{ex}^{2}}$+$\frac{1}{{ex}^{3}}$，
令h′（x）=0，
得ex²-（e+1）x+1=0，
解得x=1或x=$\frac{1}{e}$，
当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
当x∈（$\frac{1}{e}$，1）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增；
所以x=$\frac{1}{e}$时h（x）有极大值，x=1时h（x）取得极小值，也是最小值h（1）=1＞0，
F′（x）＞F′（1）=e＞0，
所以F（x）＞F（1）=0；
即f（x）-Q（x）＞0，
所以当x＞0时f（x）＞Q（x）恒成立．

点评 本题考查看利用导数求函数切线方程的应用问题，考查导数的几何意义，正确求导和运用直线方程是解题的关键，是综合性题目．