Question

15．已知函数f（x）=alnx-$\frac{4x-1}{x+1}$．
（1）若函数f（x）在（1，2）上单调递减，试求正数a的取值范围；
（2）设h（x）=x²-2bx+4，a=-2，若对于任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[5，10]，使得f（x₁）≥h（x₂）成立，试确定b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求导数，利用函数f（x）在（1，2）上单调递减，得出f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{8}{（x+1）^{2}}$≤0在（1，2）上恒成立，分离参数求最值，即可求正数a的取值范围；
（2）对任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[5，10]，使得f（x₁）≥h（x₂）成立，只要f（x）的最小值大于等于h（x）的最小值即可

解答 解：（1）∵f（x）=alnx-$\frac{4x-1}{x+1}$，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{8}{（x+1）^{2}}$，
∵函数f（x）在（1，2）上单调递减，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{8}{（x+1）^{2}}$≤0在（1，2）上恒成立，
∴a≤$\frac{8x}{（x+1）^{2}}$，
令g（x）=$\frac{8x}{（x+1）^{2}}$=$\frac{8}{x+\frac{1}{x}+2}$，
∵y=x+$\frac{1}{x}$在（1，2）上单调递增，
∴2＜y＜$\frac{5}{2}$，
∴g（x）＞$\frac{16}{9}$，
∴0＜a≤$\frac{16}{9}$；
（2）对任意x₁∈[1，2]，存在x₂∈[5，10]，使得f（x₁）≥h（x₂）成立
∴只要f（x）的最小值大于等于h（x）的最小值即可．
a=-2，f′（x）=-$\frac{2（x-1）^{2}}{x（x+1）^{2}}$≤0，∴函数f（x）在[1，2]上单调递减，∴f（x）的最小值为f（2）=-2ln2-$\frac{7}{3}$．
∵h（x）=x²-2bx+4，
∴-2ln2-$\frac{7}{3}$≥x²-2bx+4，
∴2b≤x+$\frac{2ln2+\frac{19}{3}}{x}$，
∵y=x+$\frac{2ln2+\frac{19}{3}}{x}$在[5，10]上单调递增，
∴2b≤10+$\frac{ln2}{5}$+$\frac{19}{30}$，
∴b≤$\frac{ln2}{10}$+$\frac{319}{60}$．

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．