Question

设函数f（x）=|2x-1|-|x+4|．
（Ⅰ）解不等式：f（x）＞0；
（Ⅱ）若f（x）+3|x+4|≥|a-1|对一切实数x均成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）通过对自变量x取值范围的分类讨论，去掉原函数式中的绝对值符号，再解相应的不等式即可；
（Ⅱ）利用绝对值不等式f（x）+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|（1-2x）+（2x+8）|=9可得|a-1|≤9，解之即可．

解答： 选修4-5：不等式选讲
解：（I）f(x)=

-x+5，x≤-4 -3x-3，-4＜x＜ 1 2 x-5，x≥ 1 2 .

…（3分）
当x≤-4时，由f（x）＞0得-x+5＞0，解得x≤-4，…（4分）
当-4＜x＜

1

2

时，由f（x）＞0得-3x-3＞，解得-4＜x＜-1，…（5分）
当x≥

1

2

时，由f（x）＞0得x-5＞0，解得x＞5，…（6分）
综上，得f（x）＞0的解集为{x|x＜-1，或x＞5}．…（7分）
（ II）∵f（x）+3|x+4|=|2x-1|+2|x+4|=|1-2x|+|2x+8|≥|（1-2x）+（2x+8）|=9．…（8分）
∴由题意可知|a-1|≤9，解得-8≤a≤10，…（9分）
故所求a的取值范围是{a|-8≤a≤10}．…（10分）

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查等价转化思想与分类讨论思想的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．