Question

若对一切x∈R，不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0恒成立，则a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：把不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0变形得到a≥-2x-

1

2x

+1，令2^x=t（t＞0）换元后构造函数g（t）=-t-

1

t

+1（t＞0），由导数求其最大值后得答案．

解答： 解：当x∈R时，2^x＞0，
∴不等式4^x+（a-1）2^x+1≥0恒成立等价于a-1≥

-4x-1

2x

=-2x-

1

2x

恒成立，
即a≥-2x-

1

2x

+1恒成立．
令2^x=t（t＞0）．
即a≥-t-

1

t

+1（t＞0）恒成立．
令g（t）=-t-

1

t

+1（t＞0），
g′(t)=-1+

1

t2

=

-t2+1

t2

，
当t∈（0，1）时，g′（t）＞0，
当t∈（1，+∞）时，g′（t）＜0．
∴当t=1时g（t）有极大值也就是最大值，
g（t）_max=g（1）=-1．
∴a≥-1．
故答案为：a≥-1．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了换元法和函数构造法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．