Question

已知函数f（x）=ln

x

a

，g（x）=

x-a

ax

，a＞0．
（1）若曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，求a的值；
（2）证明：当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；
（3）当a=1时，设曲线C：h（x）=f（x）-e[1+

x

•g（x）]（e为自然对数的底数），h′（x）表示h（x）的导函数，求证：对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀）．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的极值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（1）已知曲线上的点，并且知道过此点的切线方程，容易求出斜率，又知点（1，f（1））在曲线上，利用方程联立解出a的值；
（2）令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x-a

ax

（x＞a＞0），证明φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，即可得出结论；
（3）若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀），则x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，设F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），则F（x）是关于x的一次函数，只需证明F（x）在（x₁，x₂）上单调，且满足F（x₁）F（x₂）＜0．将x₁，x₂看作自变量，得到两个新函数足F（x₁）、F（x₂），讨论它们的最值即可．

解答： （1）解：∵f（x）=ln

x

a

，
∴f′（x）=

1

x

，
∴f′（1）=1，
∵f（1）=ln

1

a

，
∵曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x-y-1=0，
∴1-ln

1

a

-1=0，
∴a=1；
（2）解：令φ（x）=f（x）-g（x）=lnx-lna-

x-a

ax

（x＞a＞0），则φ′（x）=-

( x - a )2

2x ax

＜0，
∴φ（x）在（a，+∞）上单调递减，且φ（a）=0，
∴x＞a时，φ（x）＜φ（a）=0，即f（x）＜g（x），
∴当x＞a时，f（x）的图象始终在g（x）的图象的下方；
（3）证明：由题意，h（x）=lnx-ex，
若存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀），
则

1

x0

-e=

lnx2-lnx1-e(x2-x1)

x2-x1

，
∴x₀ln

x2

x1

-（x₂-x₁）=0，
设F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），则F（x）是关于x的一次函数，
∴只需证明F（x）在（x₁，x₂）上单调，且满足F（x₁）F（x₂）＜0．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），
将x₁，x₂看作自变量，得到两个新函数足F（x₁）、F（x₂），讨论它们的最值．
F（x₁）=x₁ln

x2

x1

-（x₂-x₁），F′（x₁）=ln

x2

x1

＞0，函数是增函数，
∵x₁＜x₂，
∴F（x₁）＜F（x₂）=0．
同理F（x₂）=x₂ln

x2

x1

-（x₂-x₁），函数是增函数，∴F（x₁）＞F（x₂）=0．
∴F（x₁）F（x₂）＜0
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有零点x₀，
∵

x2

x1

＞1，
∴ln

x2

x1

＞0，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁），）在（x₁，x₂）上是增函数，
∴F（x）=xln

x2

x1

-（x₂-x₁）在（x₁，x₂）上有唯一零点x₀，
∴对于曲线C上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁＜x₂，存在唯一的x₀∈（x₁，x₂），使直线AB的斜率等于h′（x₀）．

点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，正确构造函数是关键．