Question

5．已知定义在R上的函数f（x）=$\frac{b-{4}^{x}}{a+{4}^{x}}$是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）判断其单调性并加以证明；
（3）若对任意的t∈[-1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据定义在R上的函数f（x）=$\frac{b-{4}^{x}}{a+{4}^{x}}$是奇函数．可得函数满足f（0）=0，f（-1）=-f（1），可求a，b的值；
（2）分离后利用对数的单调性即可证明；
（3）根据函数是奇函数以及函数的单调性化简，分离参数，可求k的取值范围．

解答 解：由题意，∵函数f（x）=$\frac{b-{4}^{x}}{a+{4}^{x}}$是在R上奇函数，
∴f（0）=0，即b-1=0，可得：b=1
∵f（-1）=-f（1），
可得$\frac{1-4}{a+4}=-\frac{1-\frac{1}{4}}{a+\frac{1}{4}}$，
解得：a=1，
故得f（x）=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$．
那么f（-x）=$\frac{1-\frac{1}{{4}^{x}}}{1+\frac{1}{{4}^{x}}}=\frac{{4}^{x}-1}{{4}^{x}+1}=-f（x）$．
故a，b的值均为1．
（2）由（1）可得f（x）=$\frac{1-{4}^{x}}{1+{4}^{x}}$=$\frac{-（{4}^{x}+1）+2}{{4}^{x}+1}=-1+\frac{2}{{4}^{x}+1}$，
∵y=4^x+1是增函数，
故而函数y=$\frac{2}{{4}^{x}+1}$是减函数，
∴函数f（x）在定义域内是减函数．
（3）由（1）（2）可知函数f（x）在定义域内是减函数，又是奇函数，
∴不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0转化为t²-2t＞k-2t²在t∈[-1，3]恒成立；
可得：3t²-2t＞k，
令y=3t²-2t，（-1≤t≤3）
开口向上，对称轴t=$\frac{1}{3}$，
故而y_min=$3×\frac{1}{9}-\frac{2}{3}$=$-\frac{1}{3}$．
∴对任意的t∈[-1，3]，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，k的取值范围是（-∞，$-\frac{1}{3}$）．

点评 本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的运用能力来解决含参数的恒成立问题．属于中档题．