Question

13．在△ABC中，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$
（Ⅰ）求△ABM与△ABC的面积之比
（Ⅱ）若N为AB中点，$\overrightarrow{AM}$与$\overrightarrow{CN}$交于点P且$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），求x+y的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$⇒3$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$，即点M在线段BC上的靠近B的四等分点即可，
（Ⅱ）$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{AM}$设$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AM}$=$\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3λ}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$；$\frac{3λ}{2}+\frac{λ}{4}=1，解得λ=\frac{4}{7}$．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$⇒$4\overrightarrow{AM}-3\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}$⇒3$（\overrightarrow{AM}-\overrightarrow{AB}）=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AM}$
⇒3$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{MC}$，即点M在线段BC上的靠近B的四等分点，
∴△ABM与△ABC的面积之比为$\frac{1}{4}$．
（Ⅱ）∵$\overrightarrow{AM}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AP}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$（x，y∈R），$\overrightarrow{AP}∥\overrightarrow{AM}$，
∴设$\overrightarrow{AP}$=$λ\overrightarrow{AM}$=$\frac{3λ}{4}\overrightarrow{AB}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}=\frac{3λ}{2}\overrightarrow{AN}+\frac{λ}{4}\overrightarrow{AC}$；
∵三点N、P、C共线，∴$\frac{3λ}{2}+\frac{λ}{4}=1，解得λ=\frac{4}{7}$，$x=\frac{3λ}{4}=\frac{3}{7}，y=\frac{1}{4}λ=\frac{1}{7}$，
x+y=$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查了向量的线性运算，利用三点共线，系数和为1，是解题的关键，属于基础题．