Question

17．函数f（x）=x+$\frac{1}{2x}$，x∈（$\frac{1}{2}$，2），若f（x）-m＞0对一切x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，则实数m的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
• B． （-∞，$\sqrt{2}$）
• C． （-∞，$\frac{3}{2}$）
• D． （$\frac{3}{2}$，$\frac{9}{4}$）

Answer 1

分析 由题意知f（x）-m＞0对一切x∈（$\frac{1}{2}$，2）恒成立，可转化为：m＜x+$\frac{1}{2x}$ 在（$\frac{1}{2}$，2）上恒成立．

解答 解：∵f（x）-m＞0 即 f（x）＞m⇒m＜x+$\frac{1}{2x}$；
令h（x）=x+$\frac{1}{2x}$ 
h'（x）=1-$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{{x}^{2}}$，令h'（x）=0⇒x=±$\frac{\sqrt{2}}{2}$ （负舍）；
所以，h（x）在（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）上单调递减，（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，2）上单调递增；
∴h（x）_min=$\sqrt{2}$；
所以，m的取值范围为（-∞，$\sqrt{2}$）；
故选：B

点评 本题主要考察了对勾函数、利用导数判断原函数单调性以及函数恒成立问题，属中等题．