Question

19．自2017年2月底，90多所自主招生试点高校将陆续出台2017年自主招生简章，怀化市某学校高三年级为了提高学生自主招生考试的通过率，对A、B、C、D四所国内知名大学2016年自主招生考试的语文和数学的控分做了如下调查：

学校	A	B	C	D
语文（x分）	118	120	114	112
数学 （y分）	116	123	114	119

（Ⅰ）依据上表中的数据用最小二乘法求数学控分$\hat y$关于语文控分x的线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$及当某高校自主招生考试语文控分为110分时，预测该校的数学控分．
（Ⅱ）依据调查表，怀化市的这所学校从A、B、C、D四所大学任选两所，求选出的这两所学校的语文和数学控分都低于120分的概率．
（附：线性回归方程$\hat y=\hat bx+\hat a$中，$\left\{\begin{array}{l}\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}\\ \hat a=\overline y-\hat b×\overline x\end{array}\right.$）

Answer 1

分析 （Ⅰ）计算$\overline{x}$、$\overline{y}$，求出回归系数，写出线性回归方程，利用计算x=110时y的值；
（Ⅱ）利用列举法计算对应的概率值即可．

解答 解：（Ⅰ）由已知$\overline{x}$=$\frac{1}{4}$×（118+120+114+112）=116，
$\overline{y}$=$\frac{1}{4}$×（116+123+114+119）=118，
∴$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{（118-116）（116-118）+（120-116）（123-118）+（114-116）（114-118）+（112-116）（119-118）}{{（118-116）}^{2}{+（120-116）}^{2}{+（114-116）}^{2}{+（112-116）}^{2}}$
=$\frac{-4+20+8-4}{4+16+4+16}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\hat a=118-\frac{1}{2}×116=60$，…（4分）
∴线性回归方程为$\hat y=\frac{1}{2}x+60$；
∴当x=110时，$\hat y=\frac{1}{2}×110+60=115$，
∴当语文控分为110分时，该校的数学控分为115；…（6分）
（Ⅱ）从A，B，C，D四所大学任选两所共有基本事件6个：
AB，AC，AD，BC，BD，CD；
其中满足两所大学的语文控分和数学控分都小于120分的有
AC，AD，CD共3个；…（10分）
故所求的概率为$P=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$．…（12分）

点评 本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了用列举法求古典概型的概率问题，是基础题．