Question

7．等差数列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₂是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的两个极值点，则log₂（a₂•a₂₀₁₇•a₄₀₃₂）=（　　）

• A． $4+log_2^6$
• B． 4
• C． $3+log_2^3$
• D． $4+log_2^3$

Answer 1

分析 先求出f′（x）=x²-8x+6，由等差数列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₂是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的两个极值点，利用韦达定理得a₂+a₄₀₃₂=8，a₂•a₄₀₃₂=6，从而${a}_{2017}=\frac{{a}_{2}+{a}_{4032}}{2}$=4，由此能求出log₂（a₂•a₂₀₁₇•a₄₀₃₂）的值．

解答 解：∵$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$，
∴f′（x）=x²-8x+6，
∵等差数列{a_n}中的a₂、a₄₀₃₂是函数$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}-4{x^2}+6x-1$的两个极值点，
∴a₂+a₄₀₃₂=8，a₂•a₄₀₃₂=6，
∴${a}_{2017}=\frac{{a}_{2}+{a}_{4032}}{2}$=4，
∴log₂（a₂•a₂₀₁₇•a₄₀₃₂）=log₂（4×6）=$lo{g}_{2}{2}^{3}+lo{g}_{2}3$=3+log₂3．
故选：C．

点评 本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意韦达定理、等差数列、导数性质的合理运用．