题目内容
已知f（x）的导数f′（x）=3x2-2（a+1）x+a-2，且f（0）=2a，当a＞2时，求不等式f（x）＜0的解集．
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：导数的概念及应用
分析：首先根据导函数和f（0）=2a，求出原函数，再因式分解，根据a＞2，即可得到解集．
解答：
解：∵f′（x）=3x2-2（a+1）x+a-2，
∴f（x）=x3-（a+1）x2+（a-2）x+m，
∴f（0）=m=2a，
∴f（x）=x3-（a+1）x2+（a-2）x+2a=x3-x2-2x-ax2+ax+2a（a-2）x+2a=x（x2-x-2）-a（x2-x-2）
=（x-a）（x2-x-2）=（x-a）（x-2）（x+1）＜0
∵a＞2，
∴不等式f（x）＜0的解集解集为：（-∞，-1）∪（2，a）
∴f（x）=x3-（a+1）x2+（a-2）x+m，
∴f（0）=m=2a，
∴f（x）=x3-（a+1）x2+（a-2）x+2a=x3-x2-2x-ax2+ax+2a（a-2）x+2a=x（x2-x-2）-a（x2-x-2）
=（x-a）（x2-x-2）=（x-a）（x-2）（x+1）＜0
∵a＞2，
∴不等式f（x）＜0的解集解集为：（-∞，-1）∪（2，a）
点评：本题主要考查了不等式解集的求法，以及导数的有关问题，本题关键是因式分解．
练习册系列答案
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