题目内容
如图，已知平行四边形ABCD和平行四边形ACEF所在的平面相交于直线AC，EC⊥平面ABCD，AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=| 3 |
（Ⅰ）求证：AC⊥BF
（Ⅱ）求二面角F-BD-A的大小．
考点：与二面角有关的立体几何综合题,空间中直线与直线之间的位置关系
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）以CD为x轴，CA为y轴，以CE为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AC⊥BF．
（Ⅱ）求出平面ABD的一个法向量和平面FBD的一个法向量，利用向量法能求出二面角F-BD-A的大小．
（Ⅱ）求出平面ABD的一个法向量和平面FBD的一个法向量，利用向量法能求出二面角F-BD-A的大小．
解答：
（Ⅰ）证明：∵CD=AB=1，AD=2，∠ADC=60°，AF=
，
∴AC=
，满足CD2+CA2=AD2，
∴CD⊥CA，…（2分）
又EC⊥平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，
以CE为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），D（1，0，0），
A（0，
，0），F（0，
，
），
B（-1，
，0）…（4分）
∴
=(0，
，0)，
=（1，0，
），
=（-1，
，
），
∴
•
=0，∴AC⊥BF．…（6分）
（Ⅱ）平面ABD的一个法向量
=(0，0，1)，
设平面FBD的一个法向量
=(x，y，z)
且
=(-2，
，0)，
=（-1，
，
），
由
得
…（8分）
∴
，令z=1得
=（-
，-2，1），…（10分）
∴cos＜
，
＞=
，
故所求二面角F-BD-A的大小为arccos
．…（12分）
| 3 |
∴AC=
| 3 |
∴CD⊥CA，…（2分）
又EC⊥平面ABCD，故以CD为x轴，CA为y轴，
以CE为z轴建立空间直角坐标系，
则C（0，0，0），D（1，0，0），
A（0，
| 3 |
| 3 |
| 3 |
B（-1，
| 3 |
∴
| CA |
| 3 |
| BF |
| 3 |
| DF |
| 3 |
| 3 |
∴
| CA |
| BF |
（Ⅱ）平面ABD的一个法向量
| n |
设平面FBD的一个法向量
| m |
且
| DB |
| 3 |
| DF |
| 3 |
| 3 |
由
|
|
∴
|
| m |
| 3 |
∴cos＜
| m |
| n |
| ||
| 4 |
故所求二面角F-BD-A的大小为arccos
| ||
| 4 |
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
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