Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左，右焦点分别为F₁，F₂，上顶点为B．Q为抛物线y²=12x的焦点，且

F1B

•

QB

=0，2

F1F2

+

QF1

=0．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）过定点P（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点（M在P，N之间），设直线l的斜率为k（k＞0），在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F₁B⊥QB，|QF₁|=4c=3+c，解得c=1． 在Rt△F₁BQ中，|BF₂|=2c=2，所以a=2，由此能求出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），取MN的中点为E（x₀，y₀）．假设存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，由

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

⇒(4k2+3)x2+16kx+4=0，
由此利用韦达定理结合已知条件能求出实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由已知Q（3，0），F₁B⊥QB，
|QF₁|=4c=3+c，所以c=1． …（1分）
在Rt△F₁BQ中，F₂为线段F₁Q的中点，
故|BF₂|=2c=2，所以a=2．…（2分）
于是椭圆C的标准方程为

x2

4

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）设l：y=kx+2（k＞0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），取MN的中点为E（x₀，y₀）．
假设存在点A（m，0），
使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形，则AE⊥MN．

y=kx+2 x2 4 + y2 3 =1

⇒(4k2+3)x2+16kx+4=0，
△＞0⇒k2＞

1

4

，又k＞0，所以k＞

1

2

．  …（6分）
因为x1+x2=-

16k

4k2+3

，
所以x0=-

8k

4k2+3

，y0=kx0+2=

6

4k2+3

． …（8分）
因为AE⊥MN，所以kAE=-

1

k

，即

6 4k2+3 -0

-8k 4k2+3 -m

=-

1

k

，
整理得m=-

2k

4k2+3

=-

2

4k+ 3 k

． …（10分）
因为k＞

1

2

时，4k+

3

k

≥4

3

，

1

4k+ 3 k

∈(0，

3

12

]，
所以m∈[-

3

6

，0)． …（12分）

点评：本题考查椭圆C的标准方程的求法，考查在x轴上是否存在点A（m，0），使得以AM，AN为邻边的平行四边形为菱形的确定与实数m的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．