Question

设M为曲线C上任意一点，F（l，0）为定点，已知点M到直线x=4的距离等于2|MF|．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l是圆x²+y²=2的任意一条切线，且与曲线C相交于A、B两点，O为坐标原点．试推断是否存在直线l，使

OA

•

OB

=1？若存在，求出直线z的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）设点M（x，y），由已知|x-4|=2

(x-1)2+y2

，由此能求出曲线C的方程．
（Ⅱ）①设l的方程为y=kx+b，由直线l与圆x²+y²=2相切，得b²=2（k²+1），把y=kx+b代入3x²+4y²=12，得（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，由

OA

•

OB

=1，得2k²+1=0，无解．当直线l的斜率不存在时，

OA

•

OB

=

1

2

．由此得到不存在直线l满足条件．

解答： 解：（Ⅰ）设点M（x，y），由已知|x-4|=2

(x-1)2+y2

，
则（x-4）²=4[（x-1）²+y²]，
整理，得3x²+4y²=12，
∴曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）①当直线l的斜率存在时，设l的方程为y=kx+b，
∵直线l与圆x²+y²=2相切，则

|b|

1+k2

=

2

，
∴b²=2（k²+1），
把y=kx+b代入3x²+4y²=12，得3x²+4（kx+b）²=12，
即（4k²+3）x²+8kbx+4b²-12=0，
设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=-

8kb

4k2+3

，x1x2=-

4b2-12

4k2+3

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+b）（kx₂+b）
=kb（x₁+x₂）+（k²+1）x₁x₂+b²
=-

8k2b2

4k2+3

+

(k2+1)(4b2-12)

4k2+3

+b²
=

7b2-12(k2+1)

4k2+3

=

2(k2+1)

4k2+3

，
令

2(k2+1)

4k2+3

=1，则4k²+3=2k²+2，
即2k²+1=0，无解．
②当直线l的斜率不存在时，其方程为x=±

2

，
代入

x2

4

+

y2

3

=1，解得y=±

6

2

，
此时

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=2-

6

4

=

1

2

，
综上所述，不存在直线l满足条件．

点评：本题考查曲线方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与证明，解题时要认真审题，注意向量数量积的合理运用．