Question

如图，设双曲线C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，已知C_l的离心率为

2 3

3

，且△ABF的面积S=1-

3

2

．
（Ⅰ）求双曲线C_l的方程；
（Ⅱ）设抛物线C₂的顶点在坐标原点，焦点为F，动直线l与C₂相切于点P，与C₂的准线相交于点Q试推断以线段PQ为直径的圆是否恒经过y轴上的某个定点M？若是，求出定点M的坐标；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知得

e= c a = 2 3 3 1 2 (c-a)b=1- 3 2 c2=a2+b2

，由此能求出双曲线方程．
（Ⅱ）由题设，抛物线C₂的方程为x²=8y，准线方程为y=-2，由y=

1

8

x2，得y′=

1

4

x，设P（x0，

1

8

x02），则直线l的方程y=

1

4

x0x-

1

8

x02，联立y=-2，得Q（

x02-16

2x0

，-2），假设存在定点M（0，m）满足题设条件，由已知条件求出m=2，故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．

解答： 解：（Ⅰ）∵双曲线C₁：

y2

a2

-

x2

b2

=1（a＞0，b＞0）的上焦点为F，
上顶点为A，点B为双曲线虚轴的左端点，
C_l的离心率为

2 3

3

，且△ABF的面积S=1-

3

2

，
∴

e= c a = 2 3 3 1 2 (c-a)b=1- 3 2 c2=a2+b2

，解得a=

3

，b=1．c=2，
∴双曲线方程为

y2

3

-x²=1．
（Ⅱ）由题设，抛物线C₂的方程为x²=8y，准线方程为y=-2，
由y=

1

8

x2，得y′=

1

4

x，设P（x0，

1

8

x02），
则直线l的方程为y-

1

8

x02=

1

4

x0(x-x0)，
即y=

1

4

x0x-

1

8

x02，联立y=-2，得Q（

x02-16

2x0

，-2），
假设存在定点M（0，m）满足题设条件，
则

MP

•

MQ

=0对任意点P恒成立，
∵

MP

=(x0，

1

8

x02-m)，

MQ

=(

x02-16

2x0

，-2-m)，
则

x02-16

2

-(m+2)(

1

8

x02-m)=0，
即

2-m

8

x02+m(m+2)-8=0对任意实数x₀恒成立，
∴

2-m=0 m(m+2)-8=0

，解得m=2，
故以PQ为直径的圆经过y轴上的定点M（0，2）．

点评：本题考查双曲线方程的求法，考查满足条件的点的坐标是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．