Question

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．求C的方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由给出的圆的方程判断两圆的位置关系，从而得到动圆P与圆M外切，与圆N内切，然后利用圆心距和半径的关系得到P到M和P到N的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而求得椭圆方程

解答： 解：圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，
设动圆P半径为R．
∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3
动圆P与圆M外切，则PM=1+R，
动圆P与圆N内切，则PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．
∴P是以M、N为焦点的椭圆．
∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠-2）．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．