Question

某校举行中学生“日常生活小常识”知识比赛，比赛分为初赛和复赛两部分，初赛采用选手从备选题中选一题答一题的方式进行；每位选手最多有5次答题机会，选手累计答对3题或答错3题即终止比赛，答对3题者直接进入复赛，答错3题者则被淘汰．已知选手甲答对每个题的概率均为

2

3

，且相互间没有影响．
（Ⅰ）求选手甲进入复赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为X，试求X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,相互独立事件的概率乘法公式

专题：计算题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由于答对3题者直接进入决赛，故可分为三类：一类是三题全对；一类是答4题，前3题错一题，第4题答对；一类是答5题，前4题错两题，第5题答对，故可求求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）依题意，X的可能取值为3，4，5．利用独立重复试验的概率公式分别求出相应的概率，从而得出X的分布列，进而可求数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设选手甲任答一题，正确的概率为P，则P=

2

3

，
记选手甲进入复赛为事件A，则甲选答3道题目后进入复赛的概率为(

2

3

)3=

8

27

，
或选手甲答了4个题，前3个2对1错，第4次对进入复赛，∴

C

2 3

(

2

3

)2

1

3

2

3

=

8

27

，----（4分）
或选手甲答了5个题，前4个2对2错，第5次对进入复赛，∴

C

2 4

(

2

3

)2(

1

3

)2

2

3

=

16

81

----（6分）
∴选手甲进入复赛的概率P(A)=

8

27

+

8

27

+

16

81

=

64

81

----（7分）
（Ⅱ）由题意知，X可取3，4，5，则
P（X=3）=(

2

3

)3+(

1

3

)3=

1

3

；P（X=4）=

C

2 3

(

2

3

)3•

1

3

•

2

3

+

C

2 3

•(

1

3

)2•

2

3

•

1

3

=

10

27

；
P（X=5）=

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

2

4

+

C

2 4

•(

2

3

)2•(

1

3

)2•

1

3

=

8

27

，
X的分布列

X	3	4	5
P	1 3	10 27	8 27

∴EX=

107

27

----（13分）

点评：本题的考点是离散型随机变量的期望与方差，主要考查等可能事件的概率，考查离散型随机变量的分布列和期望，考查独立重复试验的概率公式．