Question

5．给下列五个命题：
①若方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②函数$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$是偶函数，但不是奇函数；
③函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域为[-3，1]；
④设函数y=f（x）的定义域为R，则函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于y轴对称；
⑤一条曲线$y=\left\{\begin{array}{l}3-{x^2}（x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]）\\{x^2}-3（x∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞））\end{array}\right.$和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值不可能是1．
其中正确命题的序号为①⑤（写出所有正确命题的序号）．

Answer 1

分析 由韦达定理，可判断①；根据函数奇偶性的定义，可判断②；根据左右平移变换不改变函数的值域，可判断③；设函数y=f（x）的定义域为R，则函数y=f（-x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于x=1对称，可判断④；分析曲线y=|3-x²|和直线y=a（a∈R）的公共点个数，可判断⑤

解答 解：对于①，若方程x²+（a-3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则两根之积为负，△＞0，即a＜0，故正确；
对于②，函数$y=\sqrt{{x^2}-1}+\sqrt{1-{x^2}}$=0，x∈{-1，1}，即是偶函数也是奇函数，故错；
对于③，函数f（x）的值域是[-2，2]，则函数f（x+1）的值域也为[-2，2]，故错误
对于④，设函数y=f（x）的定义域为R，则函数y=f（-x）与y=f（x）的图象关于y轴对称，函数y=f（1-x）与y=f（x-1）的图象关于x=1对称，故错；
对于⑤，一条曲线$y=\left\{\begin{array}{l}3-{x^2}（x∈[-\sqrt{3}，\sqrt{3}]）\\{x^2}-3（x∈（-∞，-\sqrt{3}）∪（\sqrt{3}，+∞））\end{array}\right.$和直线y=a（a∈R）的公共点个数是m，则m的值可能是2，3，4，不可能是1，故正确；
故答案为：①⑤

点评 题以命题的真假判断与应用为载体，考查了韦达定理，函数图象的变换，函数的奇偶性，函数图象的交点个数，难度中档