Question

已知函数f（x）=log₃

1-x

1-mx

（m≠1）是奇函数．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）设g（x）=

1-x

1-mx

，用函数单调性的定义证明；函数y=g（x）在区间（-1，1）上单调递减；
（3）解不等式：f（t+3）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,奇偶性与单调性的综合

专题：函数的性质及应用

分析：本题（1）可以由奇函数定义得到解析式满足的条件，从而求出参数m的值；
（2）利用函数单调性的定义，可以证明函数y=g（x）在区间（-1，1）上单调递减；
（3）利用（2）的结论，得到函数f（x）的单调性，再利用f（x）的单调性解不等式f（t+3）＜0，得到t的取值范围，注意函数的定义域．

解答： 解：（1）由题意得：f（-x）+f（x）=0对于定义域中的x都成立，
∴log3

1+x

1+mx

+log3

1-x

1-mx

=0，

1+x

1+mx

×

1-x

1-mx

=1．
∴1-x²=1-mx²对于定义域中的x都成立，
∴m²=1，
∵m≠1，
∴m=-1．
∴f(x)=log3

1-x

1+x

．
（2）由（1）知：g(x)=

1-x

1+x

，
设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
则x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₂-x₁＞0，
∵g（x₁）-g（x₂）=

2(x2-x1)

(1+x1)(1+x2)

，
∴g（x₁）＞g（x₂），
∴函数y=g（x）在区间（-1，1）上单调递减．
（3）设函数y=f（x）的定义域为（-1，1）．
设x₁，x₂∈（-1，1），且x₁＜x₂，
由（2）知：g（x₁）＞g（x₂），
∴log₃g（x₁）＞log₃g（x₂），
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴函数y=f（x）在区间（-1，1）上单调递减．
∵f（t+3）＜0=f（0），
∴

-1＜t+3＜1 t+3＞0

，
∴-3＜t＜-2．
∴不等式：f（t+3）＜0的解集为：{t|-3＜t＜-2}．

点评：本题考查了函数的奇偶性、单调性及其应用，本题难度不大，属于基础题．