Question

如图，P是⊙O外一点，PA是切线，割线PBC经过圆心O，且PB=

1

2

BC．
（Ⅰ）求证：PA=AC；
（Ⅱ）若点D是弧AC的中点，PD与⊙O交于另一点E，PB=1，求PE的长．

Answer 1

考点：与圆有关的比例线段

专题：立体几何

分析：（I）利用切割线定理可得PA²=PB•PC，即可得出；
（II）连接OD，CD，利用D为

AC

的中点，可得∠COD=

1

2

∠AOC=60°，PB=1，PC=3，CD=1．由余弦定理得PD²=PC²+CD²-2PC•CDcos60°可得PD=

7

，再由切割线定理可得PA²=PE•PD，即可得出．

解答： （Ⅰ）证明：设BC=2R，则PB=R，PC=3R，
∵PA为切线，由切割线定理得，PA²=PB•PC=3R²，
∴PA=

3

R．
连接OA，PA⊥OA，
∴∠POA=60°．∠AOC=120°．
∴AC=

3

R，∴PA=AC．
（Ⅱ） 解：连接OD，CD，
∵D为

AC

的中点，
∴∠COD=

1

2

∠AOC=60°，
而OC=OD，∠PCD=60°，
∵PB=1，
∴PC=3，CD=1，
由余弦定理得PD²=PC²+CD²-2PC•CDcos60°=32+12-2×3×

1

2

=7，
∴PD=

7

，
再由切割线定理得，PA²=PE•PD，
∴3=

7

PE．
∴PE=

3 7

7

．

点评：本题考查了切割线定理、余弦定理、圆的切线的性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．