Question

11．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为π，若其图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（　　）

• A． 关于点（$\frac{7π}{12}$，0）对称
• B． 关于点（-$\frac{π}{12}$，0）对称
• C． 关于直线x=-$\frac{π}{12}$对称
• D． 关于直线x=$\frac{7π}{12}$对称

Answer 1

分析 利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，得出结论．

解答 解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的最小正周期为$\frac{2π}{ω}$=π，∴ω=2．
若其图象向左平移$\frac{π}{6}$个单位后得到的函数为y=sin[2（x+$\frac{π}{6}$）+φ]=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ），
再根据y=sin（2x+$\frac{π}{3}$+φ）为奇函数，∴$\frac{π}{3}$+φ=kπ，k∈Z，即φ=kπ-$\frac{π}{3}$，可取φ=-$\frac{π}{3}$．
故f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）．
当x=$\frac{7π}{12}$时，f（x）=$\frac{1}{2}$≠0，且f（x）=$\frac{1}{2}$ 不是最值，故f（x）的图象不关于点（$\frac{7π}{12}$，0）对称，也不关于直线x=$\frac{7π}{12}$对称，故排除A、D；
故x=-$\frac{π}{12}$时，f（x）=sin$\frac{π}{2}$=1，是函数的最大值，故f（x）的图象不关于点（-$\frac{π}{12}$，0）对称，但关于直线x=$\frac{7π}{12}$对称，
故选：C．

点评 本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，属于基础题．