Question

6．如图，在三棱台ABC-DEF中，AB=BC=AC=2，AD=DF=FC=1，N为DF的中点，二面角D-AC-B的大小为$\frac{2π}{3}$．
（Ⅰ）证明：AC⊥BN；
（Ⅱ）求直线AD与平面BEFC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中点M，连接NM，BM，则AC⊥NM，AC⊥BM，BM∩NM=M，证明：AC⊥平面NBM，即可证明AC⊥BN；
（Ⅱ）过A作AH⊥EC于点H，连接HP，则AH⊥平面PBC．∠APH为直线AD与平面BEFC所成角，即可求直线AD与平面BEFC所成角的正弦值．

解答 （Ⅰ）证明：取AC中点M，连接NM，BM，则AC⊥NM，AC⊥BM，BM∩NM=M，
∴AC⊥平面NBM，
∵BN?平面NBM，
∴AC⊥BN；
（Ⅱ）解：化台为锥，则△PAC是等边三角形，连接AE，EC，则∠PMB为二面角D-AC-B的平面角，即∠PMB=$\frac{2π}{3}$．
∵AB=AP=BC=CP=2，E为PB的中点，
∴PB⊥平面AEC，平面AEC⊥平面PBC．
过A作AH⊥EC于点H，连接HP，则AH⊥平面PBC．
∴∠APH为直线AD与平面BEFC所成角，
∵AE=CE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$，∴AH=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$，
∴sin∠APH=$\frac{AH}{AP}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的判定与性质，考查线面角、二面角的平面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．