Question

19．如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E、E₁、F分别是棱AD、AA₁、AB的中点．
（1）判断平面ADD₁A₁与平面FCC₁的位置关系，并证明；
（2）证明：直线EE₁∥平面FCC₁．

Answer 1

分析 （1）由直四棱柱性质得DD₁∥CC₁，再推导出四边形AFCD是平行四边形，从而AD∥CF，由此能证明平面ADD₁A₁∥平面FCC₁．
（2）由平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，能证明直线EE₁∥平面FCC₁．

解答 解：（1）平面ADD₁A₁∥平面FCC₁．
证明如下：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱，∴DD₁∥CC₁，
∵AB∥CD，AB=4，CD=2，F是AB的中点，∴AF$\underset{∥}{=}$CD，
∴四边形AFCD是平行四边形，∴AD∥CF，
∵AD∩DD₁=D，CF∩CC₁=C，
∴平面ADD₁A₁∥平面FCC₁．
证明：（2）∵平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，
EE₁?平面ADD₁A₁，
∴直线EE₁∥平面FCC₁．

点评 本题考查面面位置关系的判断并证明，考查线面平行的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．