Question

集合A={y|y=x³，x∈[1，2]}，集合B={x|lnx-ax+2＞0}，且A⊆B，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：计算题

分析：先求出集合A，将A⊆B转化为lnx-ax+2＞0在[1，8]，上恒成立，构造函数y=

lnx+2

x

，x∈[1，8]，利用导数求出当x=8时有最小值为

2+ln8

8

=

2+3ln2

8

，得到参数a的范围．

解答： 解：A={y|y=x³，x∈[1，2]}={y|1≤y≤8}，
∵A⊆B，
∴lnx-ax+2＞0在[1，8]上恒成立，
∴a＜

lnx+2

x

在[1，8]上恒成立，
令y=

lnx+2

x

，x∈[1，8]，
下面求y=

lnx+2

x

，x∈[1，8]的最小值，
∵y′=

-lnx-1

x2

＜0，
∴当x∈[1，8]时，y=

lnx+2

x

单调递减，
∴当x=8时有最小值为

2+ln8

8

=

2+3ln2

8

，
∴a的范围为a＜

2+3ln2

8

，
故答案为：（-∞，

2+3ln2

8

）．

点评：本题考查的是集合的包含关系，函数的值域，不等式恒成立，分离参数求最值，是一道中档题．