Question

在等差数列{a_n}中，已知a₂=3，a₅=a₂+6，数列{b_n}满足b_n+1=2b_n-1（n∈N^*），且b₁=3．
（Ⅰ）求通项公式a_n，b_n；
（Ⅱ）设数列{

2

an•an+1

}的前n项和为S_n，试比较S_n与1-

1

bn

的大小．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件求出公差d=2，由此能求出a_n=2n-1．由已知条件推导出{b_n-1}是首项为2，公比为2的等比数列．由此能求出bn=2n+1．
（Ⅱ）由

2

an •an+2

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂项求和法求出S_n=1-

1

2n+1

，再由作差法能比较S_n与1-

1

bn

的大小．

解答： 解：（Ⅰ） 因为a₅-a₂=3d=6，所以d=2．
所以a_n=a₂+（n-2）d=3+2（n-2）=2n-1．…（3分）
因为bn+1=2bn-1(n∈N*)，所以b_n+1-1=2（b_n-1）．
所以{b_n-1}是首项为2，公比为2的等比数列．
所以bn-1=2•2n-1=2n．
故bn=2n+1．…（6分）
（Ⅱ）

2

an •an+2

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

．…（7分）
所以Sn=

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…

1

2n-1

-

1

2n+1

=1-

1

2n+1

．…（9分）
从而Sn-(1-

1

bn

)=1-

1

2n+1

-1+

1

2n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+1

=

2n-2n

(2n+1)(2n+1)

．…（10分）
故当n=1，2时，2n=2ⁿ，S_n=1-

1

bn

．
当n≥3时，2n＜2ⁿ，S_n＜1-

1

bn

．…（14分）

点评：本题主要考查等差、等比数列的概念，通项公式及求和公式等基础知识，同时考查运算求解能力．