Question

3．设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP=$\frac{π}{6}$，∠AOQ=α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]．
（1）若Q（$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$），求cos（α-$\frac{π}{6}$）的值；
（2）设函数f（α）=sinα•（$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$），求f（α）的值域．

Answer 1

分析 （1）利用差角的余弦公式计算；
（2）利用三角恒等变换化简f（α），再利用α的范围和正弦函数的性质求出f（α）的最值．

解答 解：（1）由已知得cosα=$\frac{3}{5}$，sinα=$\frac{4}{5}$，
∴cos（$α-\frac{π}{6}$）=$\frac{3}{5}×\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{4}{5}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}+4}{10}$．
（2）$\overrightarrow{OP}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}$），$\overrightarrow{OQ}$=（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{OQ}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosα+$\frac{1}{2}$sinα，
∴f（α）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinαcosα+$\frac{1}{2}$sin²α=$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2α-$\frac{1}{4}$cos2α+$\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$sin（2α-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{4}$．
∵α∈[0，$\frac{π}{2}$]，∴2α-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
∴当2α-$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$时，f（α）取得最小值$\frac{1}{2}×（-\frac{1}{2}）$+$\frac{1}{4}$=0，
当2α-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$时，f（α）取得最大值$\frac{1}{2}×1+\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
∴f（α）的值域是[0，$\frac{3}{4}$]．

点评 本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质，平面向量的数量积运算，属于中档题．