Question

13．若函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，当x₁，x₂∈（-$\frac{17}{12}$π，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由题意利用正弦函数的图象的对称性，求得φ值，可得函数的解析式，再根据当x₁，x₂∈（-$\frac{17}{12}$π，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），可得函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{11π}{12}$ 对称，可得$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=-$\frac{11π}{12}$，由此求得f（x₁+x₂）的值．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+φ）（|φ|＜$\frac{π}{2}$）的周期为$\frac{2π}{2}$=π，它的图象关于直线x=$\frac{π}{12}$对称，
∴$\frac{π}{6}$+φ=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，∴φ=$\frac{π}{3}$，故该函数的解析式为f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{3}$ ）．
令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，求得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{12}$，故f（x）图象的对称轴为x=k•$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{12}$，k∈Z．
又当x₁，x₂∈（-$\frac{17}{12}$π，-$\frac{2π}{3}$），x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），故函数f（x）的图象关于直线x=-$\frac{11π}{12}$ 对称，
即$\frac{{x}_{1}{+x}_{2}}{2}$=-$\frac{11π}{12}$，则f（x₁+x₂）=f（-$\frac{11π}{6}$）=f（$\frac{π}{6}$）=$\sqrt{2}$sin$\frac{2π}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于中档题．