Question

18．设F为双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点，过点F的直线分别交两条渐近线于A，B两点，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，则该双曲线的离心率为（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由勾股定理得出直角三角形的2个直角边的长度比，联想到渐近线的夹角，求出渐近线的斜率，进而求出离心率．

解答 解：不妨设OA的倾斜角为锐角，
∵a＞b＞0，即0＜$\frac{b}{a}$＜1，
∴渐近线l₁的倾斜角为（0，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1＜1，
∴1＜e²＜2，
∵2|AB|=|OA|+|OB|，OA⊥AB，
∴|AB|²=|OB|²-|OA|²
=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=2（|OB|-|OA|）•|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∴|OB|-|OA|=$\frac{1}{2}$|AB|，
又|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{4}{3}$，
由对称性可知：OA的斜率为k=tan（$\frac{1}{2}$∠AOB），
∴$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴2k²+3k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$（k=-2舍去）；
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1=$\frac{1}{4}$，
∴e²=$\frac{5}{4}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了双曲线的简单性质，确定|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，联想到对应的是渐近线的夹角的正切值，是解题的关键．