题目内容
11．已知函数f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判定f（x）的奇偶性并证明；
（Ⅲ）用函数单调性定义证明：f（x）在（1，+∞）上是增函数．
分析 （Ⅰ）根据函数成立的条件进行求解即可．
（Ⅱ）根据函数奇偶性的定义进行证明．
（Ⅲ）根据函数单调性的定义进行证明．
解答 解：（Ⅰ）由1-x2≠0，得x≠±1，即f（x）的定义域{x|x≠±1}…（4分）；
（Ⅱ）f（x）为偶函数．
∵f（x）定义域关于原点对称，且f（-x）=f（x）
∴f（x）为偶函数；…（8分）
（III）证明：f（x）=$\frac{1+{x}^{2}}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2-（1-{x}^{2}）}{1-{x}^{2}}$=$\frac{2}{1-{x}^{2}}$-1，
设1＜x1＜x2，则f（x1）-f（x2）=$\frac{2}{1-{x}_{1}^{2}}$-$\frac{2}{1-{x}_{2}^{2}}$
=2（$\frac{{x}_{1}^{2}-{x}_{2}^{2}}{（1-{x}_{1}^{2}）（1-{x}_{2}^{2}）}$）$\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（1-{x}_{1}）（1+{x}_{1}）（1-{x}_{2}）（1+{x}_{2}）}$，
∵1＜x1＜x2，
∴x1-x2＜0，1-x2＜0，1-x1＜0，
则f（x1）-f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），
则函数f（x）在（1，+∞）上是增函数．
点评 本题主要考查函数定义域，奇偶性和单调性的判断和证明，利用相应的定义是解决本题的关键．
练习册系列答案
轻松夺冠全能掌控卷系列答案
相关题目
6．已知定义在R上的函数f（x）满足：y=f（x-1）的图象关于（1，0）点对称，且当x≥0时恒有f（x-$\frac{3}{2}$）=f（x+$\frac{1}{2}$），当x∈[0，2）时，f（x）=ex-1，则f（2017）+f（-2016）=（ ）
| A． | 1-e | B． | -1-e | C． | e-1 | D． | e+1 |
16．若实数x，y满足不等式组$\left\{\begin{array}{l}{x-y+2≥0}\\{x+y-4≤0}\\{y≥2}\end{array}\right.$，则z=2x-y的最小值等于（ ）
| A． | -1 | B． | 1 | C． | 2 | D． | -2 |
设A是单位圆O和x轴正半轴的交点，P，Q是圆O上两点，O为坐标原点，∠AOP=$\frac{π}{6}$，∠AOQ=α，α∈[0，$\frac{π}{2}$]．