Question

15．圆$ρ=\sqrt{2}（cosθ+sinθ）$的圆心的极坐标是（1，$\frac{π}{4}$）．（ρ＞0，θ∈[0，2π））

Answer 1

分析 由ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，求出圆的直角坐标方程为${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y$=0，从而圆心的直角坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），由此能求出圆心的极坐标．

解答 解：∵圆$ρ=\sqrt{2}（cosθ+sinθ）$，（ρ＞0，θ∈[0，2π））
∴${ρ}^{2}=\sqrt{2}ρcosθ+\sqrt{2}ρsinθ$，
∵ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，y=ρsinθ，
∴${x}^{2}+{y}^{2}=\sqrt{2}x+\sqrt{2}y$，即${x}^{2}+{y}^{2}-\sqrt{2}x-\sqrt{2}y$=0，
∴圆心的直角坐标为（$\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$ρ=\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=1，$θ=\frac{π}{4}$，
∴圆心的极坐标为（1，$\frac{π}{4}$）．
故答案为：（1，$\frac{π}{4}$）．

点评 本题考查圆心的极坐标的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．