Question

10．已知过点P作曲线y=x³的切线有且仅有两条，则点P的坐标可能是（　　）

• A． （0，0）
• B． （0，1）
• C． （1，1）
• D． （-2，-1）

Answer 1

分析 求出函数的导数，设切点为（m，m³），求得切线的斜率，以及切线的方程，运用代入法，将选项代入切线的方程，解方程即可得到结论．

解答 解：y=x³的导数为y′=3x²，
设切点为（m，m³），
可得切线的斜率为3m²，
切线的方程为y-m³=3m²（x-m），
若P（0，0），
则-m³=3m²（0-m），解得m=0，只有一解；
若P（0，1），
则1-m³=3m²（0-m），可得m³=-$\frac{1}{2}$，只有一解；
若P（1，1），
则1-m³=3m²（1-m），可得2m³-3m²+1=0，
即为（m-1）²（2m+1）=0，解得m=1或-$\frac{1}{2}$，有两解；
若P（-2，-1），
则-1-m³=3m²（-2-m），可得2m³+6m²-1=0，
由f（m）=2m³+6m²-1，f′（m）=6m²+12m，
当-2＜m＜0时，f（m）递减；当m＞0或m＜-2时，f（m）递增．
可得f（0）=-1为极小值，f（-2）=7为极大值，
则2m³+6m²-1=0有3个不等实数解．
故选：C．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和设出切点是解题的关键，注意运用排除法，属于中档题．