Question

1．设实数x，y满足$x+\frac{y}{4}=1$．
（1）若|7-y|＜|2x|+3，求x的取值范围；
（2）若x＞0，y＞0，求证：$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}-\sqrt{xy}≥3$．

Answer 1

分析 （1）$x+\frac{y}{4}=1$，可得y=4-4x，代入|7-y|＜|2x|+3，可得|4x+3|-|2x|＜3，对x分类讨论即可得出．
（2）由x＞0，y＞0，可得$1=x+\frac{y}{4}≥2\sqrt{x•\frac{y}{4}}=\sqrt{xy}$，即$-\sqrt{xy}≥-1$．利用“乘1法”与基本不等式的性质可得$\frac{1}{x}$+$\frac{4}{y}$的最小值．

解答 （1）解：∵$x+\frac{y}{4}=1$，∴y=4-4x，
则由|7-y|＜|2x|+3⇒|4x+3|-|2x|＜3，
当$x＜-\frac{3}{4}$时，由|4x+3|-|2x|＜3得x＞-3，则$-3＜x＜-\frac{3}{4}$；
当$-\frac{3}{4}≤x≤0$时，由|4x+3|-|2x|＜3得x＜0，则$-\frac{3}{4}≤x＜0$；
当x＞0时，由|4x+3|-|2x|＜3得x＜0，解集为ϕ；
综上，x的取值范围是（-3，0）．
（2）证明：∵x＞0，y＞0，
∴$1=x+\frac{y}{4}≥2\sqrt{x•\frac{y}{4}}=\sqrt{xy}$，
即$-\sqrt{xy}≥-1$，当且仅当$x=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$时等号成立．
又$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}=（\frac{1}{x}+\frac{4}{y}）（x+\frac{y}{4}）=2+\frac{y}{4x}+\frac{4x}{y}≥4$，
当且仅当$\frac{y}{4x}=\frac{4x}{y}$，即$x=\frac{y}{4}=\frac{1}{2}$时等号成立，
∴$\frac{1}{x}+\frac{4}{y}-\sqrt{xy}≥3$．

点评 本题考查了基本不等式的性质、绝对值不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．