Question

17．已知函数f（x）=e^x-e^-x．
（Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性和单调性，并说明理由；
（Ⅱ）若f（x²）+f（kx+1）＞0对任意x∈R恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意，对于函数f（x）=e^x-e^-x，先分析其定义域，在求出f（-x），分析f（x）与f（-x）的关系，即可得函数f（x）为奇函数，由函数f（x）的解析式，对其求导可得f′（x）=e^x+e^-x，分析导数的符号，即可得函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）结合函数的奇偶性和单调性分析可得：f（x²）+f（kx+1）＞0对任意x∈R恒成立等价于x²+kx+1＞0对任意x∈R恒成立，由二次函数的性质分析可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，函数f（x）=e^x-e^-x，
其定义域为R，关于原点对称，f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x），故函数f（x）为奇函数，
其导数f′（x）=e^x+e^-x＞0，则函数f（x）为增函数，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：函数f（x）为奇函数且在R上为增函数，
f（x²）+f（kx+1）＞0⇒f（x²）＞-f（kx+1）⇒f（x²）＞f（-kx-1）⇒x²＞（-kx-1）⇒x²+kx+1＞0，
即x²+kx+1＞0对任意x∈R恒成立，
则有k²-4＜0，
解可得-2＜k＜2；
故k的取值范围是（-2，2）．

点评 本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析得到函数f（x）的奇偶性与单调性．