Question

直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AC，AC=AA₁，AC₁与A₁C交于一点P，延长B₁B到D，使得BD=

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AA₁，连接DC，DA，得到如图所示几何体．
（Ⅰ）求证：BP∥平面ACD；
（Ⅱ）求证：平面ABC₁⊥平面A₁B₁C．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取AC的中点E，连接DE，PE，证明四边形BDEP为平行四边形，可得BP∥DE，即可证明BP∥平面ACD；
（Ⅱ）证明A₁C⊥平面ABC₁，即可证明平面ABC₁⊥平面A₁B₁C．

解答： 证明：（Ⅰ）取AC的中点E，连接DE，PE，则
∵P为AC₁的中点，
∴在△ACC₁中，PE∥CC₁，PE=

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CC₁，
∵BD=

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AA，AA∥CC₁，
∴BD∥CC₁，BD=

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CC₁，
∴BD∥PE，BD=PE，
∴四边形BDEP为平行四边形，
∴BP∥DE，
∵DE?平面ACD，BP?平面ACD，
∴BP∥平面ACD；
（Ⅱ）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥AA₁，
∵AB⊥AC，AC∩AA₁=A，
∴AB⊥平面A₁C，
∵A₁C?平面A₁C，
∴AB⊥A₁C，
∵AC=AA₁，
∴四边形ACC₁A₁为正方形，
∴A₁C⊥AC₁，
∵AC₁∩AB=A
∴A₁C⊥平面ABC₁，
∵AC?A₁B₁C，
∴平面ABC₁⊥平面A₁B₁C．

点评：本小题主要考查利用线面平行与垂直的判定定理证明线面平行、垂直，面面垂直，并且考查空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．