某市为了缓解交通压力.提倡低碳环保.鼓励市民乘坐公共交通系统出行．为了更好地保障市民出行.合理安排运力.有效利用公共交通资源合理调度.在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间(候车时间不能超过20分钟).以便合理调度减少候车时间.使市民更喜欢选择公共交通．为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析.得到如下统计表和各时� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

19．

某市为了缓解交通压力，提倡低碳环保，鼓励市民乘坐公共交通系统出行．为了更好地保障市民出行，合理安排运力，有效利用公共交通资源合理调度，在某地铁站点进行试点调研市民对候车时间的等待时间（候车时间不能超过20分钟），以便合理调度减少候车时间，使市民更喜欢选择公共交通．为此在该地铁站的一些乘客中进行调查分析，得到如下统计表和各时间段人数频率分布直方图：

分组	等待时间（分钟）	人数
第一组	[0，5）	10
第二组	[5，10）	a
第三组	[10，15）	30
第四组	[15，20）	10

（Ⅰ）求出a的值；要在这些乘客中用分层抽样的方法抽取10人，在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率；
（Ⅱ）从这10人中随机抽取3人进行问卷调查，设这3个人共来自X个组，求X的分布列及数学期望．

分析（Ⅰ）由题先求出a，采取分层抽样的方法在第一，第二，第三，第四组分别抽取：1，5，3，1人．由此利用对立事件概率计算公式能求出在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组的概率．
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望．

解答解：（Ⅰ）由题可知，$a=\frac{10}{0.02×5}×0.1×5=50$．
采取分层抽样的方法在第一，第二，第三，第四组分别抽取：1，5，3，1人．
“在这10个人中随机抽取3人至少一人来自第二组”记为事件A，
则$P（A）=1-\frac{C_5^3}{{C_{10}^3}}=\frac{11}{12}$．
（Ⅱ）X的可能取值为1，2，3，
$P（X=1）=\frac{C_5^3+C_3^3}{{C_{10}^3}}=\frac{11}{120}$，
$P（X=2）=\frac{（C_5^3+C_3^2）×2+C_5^3C_3^1+C_3^2C_5^2}{{C_{10}^3}}=\frac{71}{120}$，
$P（X=3）=\frac{C_3^1C_5^1×2+C_5^1+C_3^1}{{C_{10}^3}}=\frac{38}{120}$，
所以X的分布列为

X	1	2	3
P	$\frac{11}{120}$	$\frac{71}{120}$	$\frac{38}{120}$

$EX=\frac{11+2×71+3×38}{120}=\frac{267}{120}=\frac{89}{40}$．

点评本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．

练习册系列答案

	A．	若向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$共线则向量$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$的方向相同
	B．	若$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$∥$\overrightarrow c$则$\overrightarrow a$∥$\overrightarrow c$
	C．	向量$\overrightarrow{AB}$与向量$\overrightarrow{CD}$是共线向量则A，B，C，D四点在一条直线上
	D．	若$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$=$\overrightarrow c$则$\overrightarrow a$=$\overrightarrow c$

	A．	充分不必要条件		B．	必要不充分条件
	C．	充要条件		D．	既不充分也不必要条件

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