Question

设f（x），g（x）都是单调函数，有如下四个命题：
①若f（x）单调递增，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递增；
②若f（x）单调递增，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递增；
③若f（x）单调递减，g（x）单调递增，则f（x）-g（x）单调递减；
④若f（x）单调递减，g（x）单调递减，则f（x）-g（x）单调递减；
其中，正确的命题是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：①④利用特殊值法举反例逐一排除；②③利用函数单调性定义证明其正确．

解答： 解：对于①，令f（x）=x，g（x）=2x，则f（x）-g（x）=-x为减函数，故排除①；
对于②，设任意的x₁，x₂，且x₁＜x₂，则由题意得f（x₁）＜f（x₂），g（x₁）＞g（x₂），
∴[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]-[g（x₁）-g（x₂）]＜0，故f（x）-g（x）单调递增；故②正确；
对于③，设任意的x₁，x₂，且x₁＜x₂，则由题意得f（x₁）＞f（x₂），g（x₁）＜g（x₂），
∴[f（x₁）-g（x₁）]-[f（x₂）-g（x₂）]=[f（x₁）-f（x₂）]-[g（x₁）-g（x₂）]＞0，故f（x）-g（x）单调递减；故③正确；
对于④，令f（x）=-x，g（x）=-2x，则f（x）-g（x）=x为增函数，故排除④．
故答案为：②③．

点评：本题考查利用函数的单调性定义判断两函数的差的增减性以及利用反例法排除不正确项的方法，属基础题．