Question

7．如图，在△ABC中，BC边上的中线AD长为3，且BD=2，$sinB=\frac{{3\sqrt{6}}}{8}$．
（Ⅰ）求sin∠BAD的值；
（Ⅱ）求cos∠ADC及AC边的长．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理即可解得sin∠BAD的值；
（2）先求得cosB，cos∠BAD，利用两角和的余弦函数公式可求cos∠ADC，由题意可求DC=BD=2，利用余弦定理即可求得AC的值．

解答 解：（1）在△ABD中，BD=2，sinB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，AD=3，
∴由正弦定理$\frac{BD}{sin∠BAD}$=$\frac{AD}{sinB}$，得sin∠BAD═$\frac{BDsinB}{AD}$=$\frac{2×\frac{3\sqrt{6}}{8}}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$；…．（5分）
（2）∵sinB=$\frac{3\sqrt{6}}{8}$，∴cosB=$\frac{\sqrt{10}}{8}$，
∵sin∠BAD=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，∴cos∠BAD=$\frac{\sqrt{10}}{4}$，
∴cos∠ADC=cos（∠B+∠BAD）=$\frac{\sqrt{10}}{8}$×$\frac{\sqrt{10}}{4}$-$\frac{3\sqrt{6}}{8}$×$\frac{\sqrt{6}}{4}$=-$\frac{1}{4}$，…．（9分）
∵D为BC中点，∴DC=BD=2，
∴在△ACD中，由余弦定理得：AC²=AD²+DC²-2AD•DCcos∠ADC=9+4+3=16，
∴AC=4．…．（12分）

点评 点评：此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．