Question

已知函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，函数y=f（x-1）关于点（1，0）对称，f（2）=4，则f（2014）=

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数的值

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，可推得函数f（x）是以12为最小正周期的函数，即有f（2014）=f（-2），再由函数y=f（x-1）关于点（1，0）对称，可得f（x）图象关于原点对称，由f（2）=4即可得到答案．

解答： 解：由于函数f（x）满足f（x+6）+f（x）=0，
则f（x+12）=-f（x+6）=f（x），
则函数f（x）是以12为最小正周期的函数，
则f（2014）=f（12×167+10）=f（10）=f（-2），
由于函数y=f（x-1）关于点（1，0）对称，
则将y=f（x-1）的图象左移1个单位，得到y=f（x）的图象，
即有f（x）图象关于原点对称，
由于f（2）=4，则f（-2）=-f（2）=-4．
则f（2014）=-4．
故答案为：-4．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的周期性和对称性及运用，考查运算能力，属于中档题．