Question

若函数f（x）=x+

1

x

，设集合A={x|2≤f（x）≤

5

2

}，U=R，则集合∁_UA=

 

．

Answer 1

考点：补集及其运算

专题：集合

分析：当x＞0时，f（x）=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，由f(x)=x+

1

x

≤

5

2

，得

1

2

≤x≤2；当x＜0时，f（x）=x+

1

x

≤-2

(-x)•( 1 -x )

，不成立，从而A={x|

1

2

≤x≤2}．由此能求出集合∁_UA．

解答： 解：当x＞0时，f（x）=x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2，
当且仅当x=

1

x

，即x=1时，取等号，
∵f(x)=x+

1

x

≤

5

2

，
∴2x²-5x+2≤0，
解得

1

2

≤x≤2；
当x＜0时，f（x）=x+

1

x

≤-2

(-x)•( 1 -x )

，不成立，
∴A={x|

1

2

≤x≤2}．
∴集合∁_UA={x|x＜

1

2

，或x＞2}．
故答案为：{x|x＜

1

2

，或x＞2}．

点评：本题考查集合的补集的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意集合性质的合理运用．