Question

14．数列{a_n}的a₁=$\frac{3}{7}$，a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，{a_n}的通项公式是a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+4}$．

Answer 1

分析 由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），利用等比数列的通项公式即可得出．

解答 解：由a_n+1=$\frac{3{a}_{n}}{2{a}_{n}+1}$，两边取倒数可得：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{3{a}_{n}}$，
变形为：$\frac{1}{{a}_{n+1}}$-1=$\frac{1}{3}$（$\frac{1}{{a}_{n}}$-1），
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$-1}是等比数列，首项为$\frac{4}{3}$，公比为$\frac{1}{3}$．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$-1=$\frac{4}{3}×（\frac{1}{3}）^{n-1}$．
∴a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+4}$．
故答案为：a_n=$\frac{{3}^{n}}{{3}^{n}+4}$．

点评 本题考查了等比数列的通项公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．