Question

8．已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=25，且a₁，a₂，a₅成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n及前n项和S_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{4{S}_{n}-1}$，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）根据等差数列的通项公式和求和公式列方程组求出首项和公差即可得出a_n，S_n；
（2）使用裂项法求和．

解答 解：（1）∵S₅=25，且a₁，a₂，a₅成等比数列，
∴$\left\{\begin{array}{l}{5{a}_{1}+10d=25}\\{{a}_{1}（{a}_{1}+4d）=（{a}_{1}+d）^{2}}\end{array}\right.$，
又d≠0，解得a₁=1，d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
S_n=$\frac{1+2n-1}{2}•n$=n²．
（2）b_n=$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$-$\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）．
∴T_n=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）=$\frac{n}{2n+1}$．

点评 本题考查了等差数列的性质，裂项法数列求和，属于中档题．