Question

若正数x，y，z满足x²+4y²=z+3xy，则当

xy

z

取最大值时，

1

x

+

1

2y

-

1

z

的最大值为（　　）

• A、2
• B、

  3

  2

• C、1
• D、

  1

  2

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：确定

xy

z

取最大值时，x=2y，代入，即可求出

1

x

+

1

2y

-

1

z

的最大值．

解答： 解：∵x²+4y²=z+3xy，
∴z=x²-3xy+4y²，
又x，y，z均为正实数，
∴

xy

z

=

xy

x2-3xy+4y2

=

1

x y + 4y x -3

≤

1

2 y x • 4y x -3

=1（当且仅当x=2y时取“=”），
∴（

xy

z

）_max=1，此时，x=2y．
∴z=x²-3xy+4y²=（2y）²-3×2y×y+4y²=2y²，
∴

1

x

+

1

2y

-

1

z

=

1

y

-

1

2y2

=-

1

2

（

1

y

-1）²+

1

2

≤

1

2

．
∴

1

x

+

1

2y

-

1

z

的最大值为

1

2

．
故选：D．

点评：本题考查基本不等式在最值问题中的应用，考查配方法的运用，正确运用基本不等式是关键．