Question

设f（x）是定义在R上的奇函数，且其图象关于直线x=1对称，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
（1）求证：f（x）是周期函数；
（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；
（3）计算：f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）．

Answer 1

考点：数列的求和,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,等差数列与等比数列

分析：（1）由于函数f（x）图象关于直线x=1对称，可得f（2-x）=f（x）；由于f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（x）=-f（-x），即可证明．
（2）根据奇函数f（x）满足当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．可得当x∈[-2，0]时，f（x）=-f（-x）=2x+x²．设x∈[2，4]，则（x-4）∈[-2，0]，再利用周期性可得f（x）=f（x-4）．
（3）利用函数的周期性及奇偶性即可得出．

解答： （1）证明：∵函数f（x）图象关于直线x=1对称，
∴f（2-x）=f（x），
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=-f（2+x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴f（x）是周期T=4的周期函数．
（2）∵奇函数f（x）满足当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
∴当x∈[-2，0]时，f（x）=-f（-x）=-（-2x-x²）=2x+x²．
设x∈[2，4]，则（x-4）∈[-2，0]，
∴f（x）=f（x-4）=2（x-4）+（x-4）²=x²-6x+8．
（3）∵当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x²．
∴f（0）=0，f（1）=1，f（2）=0．
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（3）=f（-1）=-f（1）=-1．
f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2013）
=503[f（0）+f（1）+f（2）+f（3）f（0）+f（1）
=503×（0+1+0-1）+0+1
=1．

点评：本题考查了函数的奇偶性、周期性、对称性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．