Question

已知函数f（x）=|2x+b|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}，求实数b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：计算题,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）求出不等式f（x）≤3的解集，和已知的解集作对比，从而求得实数b的值．
（Ⅱ）设g（x）=f（x+3）+f（x+1）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）-（2x+1）|=4，它的最小值为4，从而求得实数m的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由不等式f（x）≤3可得|2x+b|≤3，解得

-3-b

2

≤x≤

3-b

2

．
再由不等式f（x）≤3的解集是{x|-1≤x≤2}，可得

-3-b

2

=-1，

3-b

2

=2，解得b=-1．
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，f（x）=|2x-1|，设g（x）=f（x+3）+f（x+1），
则g（x）=|2x+5|+|2x+1|≥|（2x+5）-（2x+1）|=4，
若f（x+3）+f（x+1）≥m对一切实数x恒成立，应有4≥m．
故实数m的取值范围为（-∞，4]．

点评：本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了化归与转化的数学思想，属于中档题．