Question

已知对?x≥2，不等式x+

1

x

≥a恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：先判断出f（x）=x+

1

x

在[2，+∞）上单调性，进而利用x的范围确定f（x）的范围，进而利用题设不等式恒成立求得a的范围．

解答： 解：∵f（x）=x+

1

x

在[2，+∞）上单调递增，
∴f（x）=x+

1

x

≥2+

1

2

=

5

2

，当且仅当x=2时取等号，
∵x≥2，不等式x+

1

x

≥a恒成立，
∴a≤

5

2

，
故答案为（-∞，

5

2

]

点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．注意等号成立的条件，当等号不成立时刻利用函数的单调性来解决．