Question

已知数列{a_n}满足a_na_n+1a_n+2a_n+3=24，且a₁=1，a₂=2，a₃=3，则a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出数列{a_n}是以4为周期的周期数列，由此能求出a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄的值．

解答： 解：∵数列{a_n}满足a_na_n+1a_n+2a_n+3=24，
∴a₁a₂a₃a₄=24，
a₄=

24

a1a2a3

=

24

1×2×3

=4，
∵a_na_n+1a_n+2a_n+3=24，
∴a_n+1a_n+2a_n+3a_n+4=24，
∴a_n+4=a_n，
∴数列{a_n}是以4为周期的周期数列，
2014=503×4+2，
∴a₁+a₂+a₃+…+a₂₀₁₃+a₂₀₁₄=503×（1+2+3+4）+1+2
=5033．
故答案为：5033．

点评：本题考查数列的前2014项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的周期性的合理运用．