Question

19．双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，其中A（0，-b），B（a，0）．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）设F是双曲线的右焦点，直线l过点F且与双曲线的右支交于不同的两点P、Q，|PQ|=10．求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，建立方程，求出a，b，即可求双曲线的标准方程；
（2）设直线方程为y=k（x-2），代入双曲线方程，整理可得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0，利用韦达定理，及弦长公式，建立方程，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）直线AB的方程为bx-ay-ab=0．
∵双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为2，坐标原点到直线AB的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{a}^{2}}$=4，$\frac{ab}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴a=1，b=$\sqrt{3}$，
∴双曲线的标准方程是${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）设直线方程为y=k（x-2）
代入双曲线方程，整理可得（3-k²）x²+4k²x-（4k²+3）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则可得x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$，x₁x₂=-$\frac{4{k}^{2}+3}{3-{k}^{2}}$，
∵|PQ|=10，
∴（1+k²）²•[（-$\frac{4{k}^{2}}{3-{k}^{2}}$）²-4（-$\frac{4{k}^{2}+3}{3-{k}^{2}}$）]=100
解得，k=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴直线l的方程为y=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$（x-2）．

点评 本题考查双曲线的方程与性质，考查直线与双曲线位置关系的运用，考查弦长的计算，属于中档题．